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%第一章：多项式
理解数域的概念。
理解有理数域、实数域、复数域的含义。 
理解整除的概念。
证明一元多项式环的带余除法定理。
使用辗转相除法计算两个多项式的最大公因式。
证明两个多项式互素的充分必要条件。 
理解不可约多项式的概念。
证明因式分解的存在性和唯一性定理。
使用导数多项式计算一个多项式的重因式。
证明余数定理。
理解单根和重根的含义。
写出不可约的复系数多项式。
写出不可约的实系数多项式。
在实数和复数范围内分解多项式。 
理解本原多项式的概念，证明高斯引理。
使用艾森斯坦判别法判断有理系数多项式是否不可约。
计算整系数多项式的有理根。
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%第六章：线性空间
理解映射的像与原像的概念。
理解单射、满射与逆映射的概念。
理解线性空间的概念。
理解线性空间的一些例子。
使用线性空间的公理，证明线性空间的基本性质。
理解线性无关、线性相关的向量组的概念。
理解线性空间的基的概念。
判断线性空间的一个向量组是否为基。
计算线性空间的维数。
求向量在给定的基下的坐标。
计算从一个基到另一个基的过渡矩阵。
证明同一个向量在不同的基下的坐标之间的坐标变换公式。
理解线性子空间的概念。
理解向量组生成的线性子空间的概念。
证明线性子空间的基总可以扩充为整个线性空间的基。
理解两个线性子空间的交子空间与和子空间的概念。
计算交子空间与和子空间的基与维数。
证明和子空间的维数公式。
理解两个线性子空间的直和的概念。
证明和子空间是直和的两个充分必要条件。
理解线性空间之间的同构映射的概念。
构造两个线性空间之间的同构。
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%第七章：线性变换
理解线性变换的概念。
理解单位变换、零变换、数乘变换的含义。
理解线性变换的一些其它例子。
理解将线性变换代入多项式的运算。
理解可逆线性变换的逆变换的概念。
计算线性变换关于一个基的矩阵。
构造线性变换全体与矩阵全体之间的同构。 
证明线性变换关于不同的基的矩阵是相似的。
理解线性变换的特征值与特征向量的概念。
计算矩阵的特征值与特征向量。
计算线性变换的特征值与特征向量。
举例验证哈密顿-凯莱定理。
证明线性变换关于适当的基的矩阵是对角阵的充分必要条件。
证明线性变换关于适当的基的矩阵是对角阵的充分条件。
证明属于不同特征值的特征向量是线性无关的。
判断矩阵是否能够相似于对角阵。
计算线性变换的值域与核的基与维数。
证明有限维线性空间上的线性变换的秩与零度的和等于维数。
理解线性变换的不变子空间的概念。
证明线性变换的不变子空间可以化简线性变换的矩阵。
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%第九章：欧氏空间
理解欧氏空间的概念。
欧氏空间中的向量长度与夹角的概念。
证明欧氏空间中的柯西不等式。
证明欧氏空间中的勾股定理。
证明欧氏空间的度量矩阵是正定的。
使用施密特正交化方法从一个基得到一个标准正交基。
理解正交矩阵的概念。
证明两个标准正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵。
理解欧氏空间之间的同构映射的概念。
构造两个欧氏空间之间的同构。
理解欧氏空间的正交变换的概念。
证明正交变换将标准正交基变成标准正交基。
证明正交变换关于标准正交基的矩阵是正交矩阵。
计算欧氏空间中的向量在子空间中的内射影。
计算欧氏空间的子空间的正交补空间。
理解欧氏空间的对称变换的概念。
证明对称变换关于标准正交基的矩阵是对称矩阵。
证明实对称矩阵必定正交相似于对角矩阵。
将给定的实对称矩阵正交相似于对角矩阵。
通过正交线性替换将实二次型化为标准形。




